一元二次方程根与系数关系（一、韦达定理）

开课人    戴秀琴

教学目的：1、通过观察、归纳、猜想根与系数的关系，并证明此关系成立，使学生理解其理论依据。

2、会运用根与系数关系解题。

教学重点：根与系数关系的推导、应用。

教学难点：灵活应用韦达定理。

教学过程：

一、引入：

我们知道，方程的根的值是由一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的各项系数a、b、c决定的，我们还知道根的性质由b²－4ac决定。今天，我们来研究方程的两根和及两根之积与a、b、c有什么关系？

二、新课讲解：

先计算下列方程的两根x₁、x₂，然后计算x₁＋x₂，x₁·x₂。最后观察两根和x₁＋x₂，两根积x₁·x₂与a、b、c的关系。

方程          x₁       x₂          x₁＋x₂          x₁·x₂

x²＋5x＋6 = 0

x²－8x－9 = 0

3x²－4x－4= 0

1、从表中观察x₁＋x₂，x₁·x₂与一次项系数及常数项的关系。

两根和等于一次项系数除以二次项系数的相反数

两根积等于常数项除以二次项系数

2、猜想ax²+bx+c=0(a≠0)的x₁＋x₂， x₁·x₂与a、b、c的关系为          

（x₁＋x₂ =－ ，x₁·x_{2 =} ）

3、证明上述结论

（启发学生：求根公式是具有一般性的）

  证明：设ax²+bx+c=0(a≠0)的两根x₁、x₂，

则x₁ =     x_{2 =} (b²－4ac≥0)

∴x₁＋x₂ =－ ，x₁x_{2 =}

归纳：一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

如果 ax²+bx+c=0(a≠0)的两根是x₁、x₂，

那么x₁＋x₂ =－

x₁x_{2 =}

说明：（1）运用时必先化为一般式；

（2）根与系数关系的前提是：△= b²－4ac≥0

（3）功能：若已知一元二次方程，则可写出此方程的两根之和及两根之积的值。

三、例题讲解：

例1、已知方程5x²＋kx－6 = 0的一个根是2，求它的另一个根及k的值。

解：（一）设方程的另一个根为x₁，则

          x₁＋2 = －      k = －7

2 x₁ = －       x₁ =－

   （二）把x = 2代入原方程，得：5×2²＋2k－6 = 0

            k = －7

         当k = －7时，方程为5x²－7x－6 = 0

                x₁ =2   x₂ =－

答：略

练习：

1、下列方程两根的和与两根的积各是多少？

   （1）x²－3x＋1 = 0     （2）3x²－2x = 2

   （3）2x²＋3x= 0        （4）3x² = 1

2、已知方程3x²－19x＋m = 0 的一个根是1，求它的另一个根及m的值。

3、已知关于x的方程x²－px＋q = 0 的两个根是0和－3，求p 和q的值。

例2、利用根与系数的关系，求一元二次方程2x²＋3x－1 = 0两根的

（1）平方和      （2）倒数和       （3）差        

解：设方程的两个根为x₁、x₂，则

     x₁＋x₂ =－ ，x₁·x₂ = －

（1）    x₁²＋x₂² = （x₁＋x₂）²－2 x₁x₂ = ＋1=

（2）    ＋ =  = 3

（3）    x₁－x₂ = ±  =±  

=± =±

注：常用等式：

（1）    x₁²＋x₂² = （x₁＋x₂）²－2 x₁x₂ =（x₁－x₂）²＋2 x₁x₂

 

（2）（x₁－x₂）² =（x₁＋x₂）²－4 x₁x₂

练习：设x₁、x₂是方程2x²＋4x－3 = 0 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。

    （1）（x₁＋1）（x₂＋1）        （2） ＋

    （3）4 x₁x₂－x₁²－x₂²           （4）| x₁－x₂|

（5）x₁³ x₂ ＋x₁x₂³

例3、若矩形的长和宽分别是方程 4x²－12x＋3 = 0的两个根，求这个矩形的周长和面积。

解：设方程的两根为x₁、x₂，则

          x₁＋x₂ = 3 

          x₁x₂ =

       ∴矩形的周长为2（x₁＋x₂ ）= 6

               面积为 x₁x₂ =

四、小结：

1、一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个根x₁、x₂，则x₁＋x₂=    x₁x₂ =    。

2、应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式。

3、应用一元二次方程根与系数关系时，要特别注意方程有实数根的条件，即当且仅当△= b²－4ac≥0时，才能应用根与系数关系。

4、本节课的应用：①已知一根，求另一个根 ②求对称式

五、作业：补充