印度数学

    印度数学的数学发展可以划分为三个重要时期，首先是雅利安人入侵以前的达罗毗荼人时期，史称河谷文化；随后是吠陀时期；其次是悉檀多时期。由于河谷文化的象形文字至今不能解读，所以对这一时期印度数学的实际情况了解得很少。
    印度数学最早有文字记录的是吠陀时代，其数学材料混杂在婆罗门教和印度教的经典《吠陀》当中，年代很不确定，今人所考定的年代出入很大，其年代最早可上溯到公元前10世纪，最晚至公元前3世纪。吠陀即梵文veda，原意为知识、光明，《吠陀》内容包括对诸神的颂歌、巫术的咒语和祭祀的法规等，这些材料最初由祭司们口头传诵，后来记录在棕榈叶或树皮上。不同流派的《吠陀》大都失传，目前流传下来仅有7种，这些《吠陀》中关于庙宇、祭坛的设计与测量的部分《测绳的法规》（sulva sūtrus,又译成绳法经），有一些几何内容和建筑中的代数计算问题。如勾股定理、矩形对角线的性质、相似直线形的性质，以及一些作图法等，在作一个正方形与已知圆等积的问题中，使用了圆周率的以下近似值：，此外还用到 p = 3.004和p = 4 (8÷9)² = 3.16049的近似值。在关于正方形祭坛的计算中取
       ?2 = 1 + 1/3 + 1/ (3×4) －1/ (3×4×34) = 1.414215686
    由几何计算导致了一些求解一、二次代数方程问题，印度用算术方法给出求解公式。
耆那教的经典由宗教原理、数学原理、算术和天文等几部分构成，流传下来的原始经典较少，不过流传一些公元前5世纪至公元后2世纪的注释。其中出现了许多计算公式，如圆周长 c = r?10 ，弧长 l = ? (a ² + 6h ² ) 等。
    关于公元前2世纪至公元后3世纪的印度数学，可考资料非常少，值得庆幸的是1881年在今天的巴基斯坦西北地区发现了这一时期的，书写在桦树皮上的所谓“巴克沙利（bakhshali）手稿”。其数学内容十分丰富，涉及到分数、平方根、数列、收支与利润计算、比例算法、级数求和、代数方程等，其代数方程包括一次方程、联立方程组、二次方程。特别值得注意的是该书使用了一些数学符号，如减号，将“12 － 7” 记成“12 7＋”，出现了10个完整的十进制数码，用点表示“0”.
    在数学中，“0”的意义是多方面的，它既表示“无”概念，又表示位值制记数法中的“空位”,而且是数域中最基本的一个元素，可以与其它数一起运算，同时还表示正负数的分界点。有一种流行的说法，认为印度人以“0”表示“无”概念与佛教的“空”（梵文sūnya）有关，这种说法没有明确的根据，不过这种意义的确较早地出现于印度文明中。“0”作为记数法中的“空位”，在位值制记数方式的文明中不可缺少，只不过各种文明采取不同的方式，大部分文明没有引入数码而以空位表示，如巴比伦的契书、宋元以前的中国筹码记数等，印度人和玛雅人采用了符号，玛雅20进位制中的零用有似眼睛或贝壳的符号表示。公元前7-8世纪，印度人就普遍使用十进位值制记数法，婆罗米(brahmi)文字中出现过9个数码，梵文中都出现过，零最初也是用空格表示，后用点表示，用圆圈符号“0”表示零也是印度人的一项伟大发明，它最早出现于9世纪的瓜廖尔(gwalior)地方的一块石碑上，大约在11世纪，10个完整印度数码臻于成熟。印度人不仅把“0”视作记数法中的空位，而且也视其为可施行运算的一个特殊的数。公元773年，印度数码传入阿拉伯国家，后来欧洲人通过阿拉伯人接受了，成为今天国际通用的所谓阿拉伯数码。这种印度数码与记数法成为近世欧洲科学赖以进步的基础。中国唐朝印度裔天文历学家瞿昙悉达于718年翻译的印度历法《九执历》当中也有这些数码，可是未被中国人所接受。
    悉檀多（梵文siddhanta，原为佛教因明的术语，笈多）时代是印度数学的繁荣期时期，其数学内容主要是算术与代数，而且明显受到希腊数学的影响，出现了一些著名的数学家，如阿利耶波多（aryabhata i, 476-约550）、婆罗摩笈多（brahmagupta，598-665）、马哈维拉(mahavira, 9世纪)和婆什迦罗（bhaskaraⅡ，1114-约1185）等。
     现今所知有确切生年的印度最早数学家是阿耶波多，他只有一本天文数学著作《阿耶波多历数书》（499）传世。该书最突出的地方在于对希腊三角学的改进和一次不定方程的解法。阿耶波多把半弦与全弦所对弧的一半相对应，成为今天的习惯，同时他以半径的作为度量弧的单位，实际是弧度制度量的开始。他还给出了第一象限内间隔为3?45'的正弦差值表。印度第一个正弦表是在年代距阿耶波多不远的天文著作《苏利耶历数全书》(sūrya siddhānta,佚名,约5世纪)中出现的。
    阿耶波多最大贡献是建立了丢番图方程求解的所谓“库塔卡”方法，采用辗转相除法的演算程序，接近于连分数算法。为求方程 ax ＝ by＋m   整数解，首先对a，b使用辗转相除法得到系列商{q_l，q₂，q₃，…，q_n}，以及相应的余数系列{r₁，r₂，r₃，…，r_n＝0}，依法则：

计算, 得到a / b的渐近分数序列：

有

， c_n_－₁b－e_n_－₁a = 1
于是

   是不定方程的特解。
    婆罗摩笈多的两部天文著作《婆罗摩修正体系》（628）和《肯德卡迪亚格》（约665），都含有大量的数学内容，其代数成就十分可贵。他把0作为一个数来处理，9世纪马哈维拉和施里德哈勒接受了这一传统。婆罗摩笈多对负数有明确的认识，提出了正负数的乘除法则。他曾利用色彩名称来作为未知数的符号，并给出二次方程的求根公式。婆罗摩笈多最突出的贡献是给出佩尔(pell)方程ax ² + k = y ² ( a 是非平方数)的一种特殊解法，名为“瓦格布拉蒂”。他的方法首先选择适当的整数 k 与 k' ，分别找出 ax ² + k = y ² 和 ax ² + k' = y ² 的解(a , b)与(a' , b' )，再做所谓“瑟马萨”（samāsa）的组合，得到：，为ax² + kk' = y² 的解。
     取 k = k ' , 若出 aa ² + k = b² ，则    是ax ² + k = y ² 的解。于是，这样就得到ax ² + 1 = y ² 的解：

    婆罗摩笈多进一步指出，只要在 k = ±1，±2，±4的条件下，求得ax ² + k = y ²的一组解(a , b)，就可得出ax ² + 1 = y²无穷组解。
    婆罗摩笈多在《肯德卡迪亚格》中利用二次插值法构造了间隔为15°的正弦函数表，给出下面的插值公式：
          sin(a＋xh) = sina＋[dsina＋dsin(a－h)]x / 2＋x²[d² sin(a－h)]/2
          （其中h =15° ,x ￡ 1 , dsin(a－h) 与 d² sin(a－h)分别表示一、二阶差分）

                                     婆罗摩笈多正弦差分表
                     角度   正弦线   一阶差   二阶差
                       0      0        39      -3
                      15      39       36      -5
                      30      75       31      -7
                      45     106       24      -9
                      60     130       15      -10
                    75     145       5
                    90     150
婆罗摩笈多在几何方面的杰出成果是获得了边长为a，b，c，d 的四边形的面积公式：
        ? (p－a) (p－b) (p－c) (p－d) ，                     [ p = (a + b + c + d )/2 ].
    实际上，这一公式仅适合于圆内接四边形，婆罗摩笈多并未认识到这一点，后来马哈维拉由这一公式出发，将三角形视为有一边为0的四边形，从而获得海伦公式。12世纪的婆什迦罗曾经对婆罗摩笈多的四边形公式提出过质疑。
    7世纪以后，印度数学出现了沉寂，到9世纪才又呈现出繁荣。如果说7世纪以前印度的数学成就总是与天文学交织在一起，那么9世纪以后发生的改变。耆那教徒马哈维拉的《计算方法纲要》（the ganita-sāra-sangraha of mahāvīrācārya）可以说是一部系统的数学专著，全书有九个部分：（1）算术术语，（2）算术运算，（3）分数运算，（4）各种计算问题，(5)三率法（即比例）问题，(6)混合运算，(7)面积计算，(8)土方工程计算，(9)测影计算。基本是对以往数学内容的总结和推广，书中给出了一般性的组合数公式，而且给出椭圆周长近似公式：c = ? (24b ² + 16a ² ) .因其有很多问题和方法与中国《九章算术》相同或相近，从而有人认为他受到过《九章算术》或中国其它算书的影响。
    与马哈维拉同时代的施里德哈勒（sridhara, 9世纪）撰写的《计算概要》（ganita-sara）也是一本日用数学著作，内容基本与马哈维拉的《计算方法纲要》一致。
    婆什迦罗是印度古代和中世纪最伟大的数学家和天文学家，长期在乌贾因负责天文台工作，他有两本代表印度古代数学最高水平的著作《莉拉沃蒂》（līlāvatī）和《算法本源》，天文著作有《天球》和《天文系统之冠》。关于《莉拉沃蒂》书名，有一个美丽动人的传说，称莉拉沃蒂是婆什迦罗女儿的名字（līlāvatī，原意是美丽的意思），占星家预言她终身不能结婚，也是占星家的婆什迦罗为女儿预占吉日，他把一个底部有孔的杯子放入水中，从孔中慢慢渗入水的杯子沉没之时,就是他女儿的吉日来临之际。女儿带着好奇观看这只待沉的杯子，不想颈项上一颗珍珠落入杯中，正好堵塞了漏水的小孔，杯子也停止了继续下沉，这样注定莉拉沃蒂永不能出嫁。婆什迦罗为了安慰女儿，把他所写的算书以她名字命名，以使她的名字随同这本书流芳百世。该书后来在莫卧儿帝国的帝王阿克巴（akbar,1556-1605在位）的授意下，由菲济（fyzi）译成波斯文。这个传说来源于菲济的记载。
   《莉拉沃蒂》共有13章：第一章给出算学中的名词术语；第二章是关于整数、分数的代数运算，包括加、减、乘、除、平方、开平方、立方、开立方等；第三章论各种计算法则和技巧；第四章关于利率等方面的应用题；第五章数列计算问题，主要是等差数列和等比数列；第六章关于平面图形的度量计算；第七至十章关于立体几何的度量计算；第十一章为测量问题；第十二章是一些代数问题，包括不定方程；第十三章是一些组合问题。该书有点和中国元末以后的算书类似，很多数学问题用歌谣的形式给出。《算法本源》主要是算术和代数著作。
婆什迦罗和其他印度数学家一样，对不定方程持有特别的兴趣，除对“库塔卡”问题外，他把婆罗摩笈多关于佩尔方程的特殊解法改造成一般性的解法。对于，婆什迦罗首先选择适当的整数k，找出ax2 + k = y2的一组特解(?, ?)，即a?2 + k = ?2，另外再找一个整数m，使（1，m）是ax2 +（m2 -a）= y2的一组特解，使用“瑟马萨”组合，得到满足ax2 + k (m2 -a）= y2, 即，最后根据“库塔卡”方法，可以找到m使k? m? + ?, 并且使? m2 -a ?最小。计算
          ，，，
则（1 ，1）是方程ax 2 + k1 = y2的解。用1 ，1，k1代替，，k，重复做上面的演算，若干次后就得到ax 2 + p = y2的特解（其中p = 1，2，4），再根据婆罗摩笈多的方法得到ax 2 + 1 = y2的无穷个解。
   婆什迦罗能够熟练地使用诸如和差与半角等三角公式，在解二次方程中能够认识并广泛使用无理数，讨论了形如和的无理数的平方根。
    由于印度屡被其他民族征服，使印度古代天文数学受外来文化影响较深，除希腊天文数学外，也不排除中国文化的影响，然而印度数学始终保持东方数学以计算为中心的实用化特色。与其算术和代数相比，印度人在几何方面的工作显得十分薄弱，最具特色与影响的成就是其不定分析和对希腊三角术的推进。

古代印度文明概况

古代印度数学